Non-dérivabilité en un réel - Exemple

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Démonstration

Soit `f`  la fonction définie sur  `[0;+\infty[`  par  \(f(x)=\sqrt{x}\) .
Étudions la dérivabilité de  `f`  en  `a=0` .

Soit  `h`  un réel  positif  non nul. On a :  `\tau_0(h)=\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt(0+h)-\sqrt(0)}{h}=\sqrt(h)/h=1/\sqrt(h)` .

Les tableaux ci-dessous donnent les valeurs de  `1/\sqrt(h)` pour des valeurs de `h` de plus en plus proches de `0` .

On constate que les valeurs de  `1/\sqrt(h)`  deviennent de plus en plus grandes lorsque  `h`  prend des valeurs de plus en plus petites. En effet, la limite  \(\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_0(h)\)  n'est pas finie, donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en  `0` .

Ce résultat s'interprète graphiquement.
On a représenté la fonction racine carrée dans un repère et on s'intéresse à la position limite de la tangente à la courbe de la fonction racine carrée au point d'abscisse \(0\) . Soit \(\text{M}\) un point de la courbe représentative de la fonction racine carrée.

On déplace le point  \(\text M\)  vers le point \(\text A(0;0)\) . Les coefficients directeurs des droites \(\text{(AM)}\)  sont de plus en plus grands comme le montre la représentation ci-dessous.